Непараметрические методы – это методы, которые используются в случаях, когда нам не известен характер распределения данных либо известно, что распределение данных не подчиняется нормальному закону распределения, в таких методах проводится ранжирование абсолютных значений.

U-критерий Манна-Уитни – это простой непараметрический статистический критерий, который используется для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Данный критерий позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками и чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия в выборках достоверны [1].

Ограничения применимости критерия:

1) В каждой из выборок должно быть не менее трех значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти;

2) В выборочных данных не должно быть совпадающих значений или таких совпадений должно быть очень мало.

Применение U-критерия Манна-Уитни целесообразно при сравнении двух независимых совокупностей, однако, данный критерий можно использовать и при сравнении большего числа выборок, но при этом необходимо учесть изменение традиционного критического уровня значимости на новый уровень значимости [2].

Рассмотрим алгоритм применения U-критерия Манна-Уитни на примере сравнительного анализа характера загрязнения почв свинцом г.Архангельска и г.Северодвинска. Объект исследования – почвы, взятые с пробных площадей, заложенных в техногенно-антропогенных и природно-антропогенных зонах городов. Данные по валовому содержанию тяжелых металлов в почвах (концентрация, мг/кг) предоставлены кафедрой химии и химической экологии САФУ имени М.В. Ломоносова.

Алгоритм применения U-критерия Манна-Уитни следующий:

1)                Выдвигаем нулевую гипотезу: города Архангельск и Северодвинск схожи по характеру загрязнения почв свинцом между собой.

2)                Данные по загрязнению почв располагаем в обобщенный ряд в порядке от наименьшего значения к наибольшему и ранжируем.

3)                Из обобщенного ряда отдельно выделяем выборки по г.Архангельску и г.Северодвинску. Суммируем ранги по каждой выборке.

4)                Вычисляем эмпирическое значение U-критерия по следующей формуле:

  ,

где  ,

,

.

5)           Для заданного уровня значимости определяем  по таблице критических значений U-критерия Манна-Уитни.

Проводим сравнение с критическим уровнем значимости (уровень значимости примем равным 0,05, то есть различия между выборками будем считать статистически значимыми только в том случае, когда Р < 0,05).

Если расчетное значение больше критического, то нулевую гипотезу принимаем, в противном случае гипотеза отвергается.

Таблица 1 – Расчет сумм рангов

Продолжение таблицы 1

n₁ = 22,

n₂ = 36

U_кр(0,05) =  292

U > U_кр, значит, гипотеза о сходстве принимается, таким образом, загрязненность свинцом в Архангельске и Северодвинске значимо не отличается. Гипотеза о сходстве принимается.

С целью подтверждения полученного вывода для проверки гипотезы можно использовать следующие автоматизированные расчеты:

1.     двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями в MS Excel [3];

2.     автоматизированный расчет в SPSS Statistic.

Результаты проверки гипотезы по двухвыборочному t-тесту с различными дисперсиями при уровне значимости равном 0,05 следующие:

3.      Dvuhvyborochnyj t-test s razlichnymi dispersijami v MS Excel. URL: https://excel2.ru/articles/dvuhvyborochnyy-t-test-s-razlichnymi-dispersiyami-v-ms-excel