Занимаясь изучением краевых задач доктрины функций в бесконечных областях [2] довольно нередко появляется надобность применения пространств функций, которые бы удовлетворяли условию Гёльдера по отношению к метрике сферы Римана [1].
Определение. Одноточечная компактификация 
евклидового пространства 
есть метрика сферы Римана.
Согласно определению, окрестностями элемента 
в этой операции, преобразующей топологические пространства в компактные будут служить дополнения к шарам. Более того, непрерывность функции 
в точке означает существование предела 
. При 
стереографическая проекция устанавливает гомеоморфизм компакта 
на единичную сферу 
трехмерного пространства и поэтому компакт носит название сферы Римана. Отметим, собственно, что подобную проекцию можно установить и для 
, что означает сохранность введенного термина и в данном случае [1].
Очевидно, инверсия
(1)
относительно сферы 
с центром в точке 
осуществляет гомеоморфизм компакта 
на себя, причем 
и 
. При 
это преобразование будем обозначать 
. Заметим, что оно переставляет точки 
, и взаимно обратно. Обратным к (1), в общем случае, является преобразование 
.
Компакт можно наделить естественной структурой метрического пространства. С этой целью с каждой парой его точек 
свяжем неотрицательное число 
по формуле
Заметим, что тогда 
при 
.
Лемма. Функция есть расстояние. Инверсия, заданная формулой (1), относительно функции удовлетворяет следующей двусторонней оценке:
Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение леммы проверим выпонимость неравенства треугольника для трех точек 
. Заметим, собственно, что это неравенство уточняется непосредственно, когда одна из данных точек совпадает с [2]. Поэтому нужно доказать неравенство 
или, что равносильно, неравенство 
Достаточно убедиться, что 
. Данное неравенство очевидно, если одна из точек 
совпадает с . В общем случае после деления на 
оно переходит в 
где положено 
и аналогично обозначение принято и для 
. Так как
, аналогично для остальных пар точек, это неравенство совпадает с неравенством треугольника по отношению к евклидовой метрики. Перейдем к доказательству второго утверждения леммы, которое базируется на равенстве
(2)
Заметим, что равенство (2) равносильно следующему равенству:
Левая часть этого выражения равна 
что совпадает с его правой частью. В силу (1), (2) расстояние 
можем записать в виде
откуда 
где 
Остается заметить, что в силу очевидного неравенства 
выполнена оценка 
.
Определение. Условие Гёльдера [3] вводится и для функций, которые заданны на произвольном метрическом пространстве, по отношению к его метрике . Для этого нужно лишь заменить выражение 
в условии 
на выражение 
. Соответствующий класс обозначим через
, указывая при необходимости метрику.
Как показано в [3] это пространство является банаховым относительно нормы 
.
Можно также ввести класс 
отображений 
из метрического пространства 
в 
с помощью условия Гельдера 
Отметим, собственно, что все основные свойства нормированных пространств и теорема об эквивалентности общепризнанных мер в банаховых пространствах сохраняют свою силу и в данном случае, поскольку при их доказательстве специфика евклидового расстояния никак не применялась.
Использованные источники
1. Ковалёва Л. А., Чернова О. В. Математика как неотъемлемая компонента образования инженера-специалиста // Наука и образование: отечественный и зарубежный опыт. Сборник трудов конференции Двадцать третьей международной научно-практической конференции. — 2019. — С. 116-120.
2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с.
3. Солдатов А. П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I / А. П. Солдатов // СМФН. – 2017. – Т. 63, № 1. – С. 1–189.
