Предположим,
что в декартовой системе координатOXYZпространства
R3задана
кривая l, обладающая
определенными дифференциальными свойствами (рис.1). Зададим на кривой l
множество точек ,i=1,2,…,N
таким образом, чтобы равновеликие сферы рассеяния погрешностей задания соседних
точек не пересекались. Минимальное расстояние между соседними точками
определяется
соотношением[1,c.41]:
.
(1)
Рис.1.Схема предельной точности задания линейного обвода
Соединяя
несмещенные оценки точек отрезками, получим
некоторую ломаную
,
аппроксимирующую гладкую кривую l.
Установим информационное соответствие между точностью задания кривой l
ломаной
в заданной системе
отсчета OXYZ.
При выполнении условия (1) при выборе минимального шага точечной аппроксимации кривойl, информация о точности ее задания определяется соотношением
,
(2)
где –длина ограниченной кривой
l.
Если
к правой части (2) прибавить и вычесть постоянную величину ,
то равенство не нарушится:
,
(3)
Соотношение (3) преобразуется с учетом свойства логарифмической функции:
,
(4)
где
–
длина аппроксимирующей ломаной.
Первое слагаемое в правой части выражения (4) определяет количество информации о точности задания аппроксимирующей ломаной [2,c.73]:
.
(5)
Так
как длина кривой l больше суммарной
длины аппроксимирующей ломаной,
то отношение под знаком логарифма в правой части (5) всегда больше единицы,
т.е. логарифм положителен. Следовательно, при аппроксимации непрерывной гладкой
кривой ломаной имеет место потеря информации, связанной с точностью задания линейных
геометрических объектов. Величина потери определяется логарифмическим
отношением:
(6)
Если оценивать предельное состояние равенства (5) при бесконечном уменьшении метрики, то оказывается, чтов формуле:
= lim
+ lim
(7)
второе слагаемое равно нулю и информация о точности задания кривой соответствует информации о точности задания аппроксимирующей ломаной [3,c.83].
При ограниченном параметре N в общем случае имеет место соотношение:
,
(8)
где d – положительное число, зависящее от шага аппроксимации кривой.
С
точки зрения метрической определенности кривой [4,c.86],
связанной с ее предельной дискретизацией метрикой et,
параметр d принимает
нулевое значение при шаге дискретизации .
В этом случае имеет место равенство информаций:
.
(9)
Таким
образом, с информационной точки зрения, точность задания гладкой кривой l
соответствует точности задания аппроксимирующей ломаной с
шагом дискретизации, не превышающим величины минимальной метрики
,
либо Dэдля
энтропийных оценок.
Очевидно, что для заданной ячейки измеримости [5,c.192]et, криваяl может быть задана множеством точек с полной информационной определенностью, если их число равно
(N-1) = ,
(10)
где
– длина кривой l,
измеренная
в единицах et;
Dэ-
величина энтропийного интервала предельной измеримости (
=
).
Подставляя параметр Dэв (10), получаем выражение размерности точечного массива [6,c.104] с учетом величины заданной минимальной метрикиeм:
.
(11)
Выбор параметра N на основании формулы (11) геометрически означает [7,c.1257], что равновеликие круги рассеяния всех точек дискретного ряда кривойl касаются друг друга, а их радиус равен:
=
/12. (12)
Соотношение (11) с учетом положительной определенности его правой и левой частей может быть прологарифмировано:
.
(13)
Преобразование полученного соотношения с учетом свойства логарифмической функции [8,c.68] (при eм=1):
,
(14)
позволяет
получить в правой части с учетом (9) выражение информации о точности задания
аналитической кривойl
множеством точек .
Следовательно, и левая часть выражения (13) определяет информацию о точности
задания кривойl дискретным
точечным рядом размерности N
:
.
(15)
Соотношения (13), (15) определяют предельные «верхние» условия нормировки параметров размерности массивов точечных множеств [9,c.164] при дискретном задании аналитической кривойl в декартовой системе отсчетаOXYZ(eм).
За эталон кривой информации принимается линия, заданная двумя граничными точками A и B, которые могут быть соединены любым способом, в том числе и отрезком:
.
(16)
На основании соотношений (15), (16) нормируется информационное содержание о точности задания любой кривой в следующих пределах:
0 ≤ Inf(Pi) ≤ ln,
(17)
где Dэ–предельный параметр измеримости, определяемый дифференциально-геометрическими свойствами кривой.
Список литературы
1.Синицын С.А. Информационно-статистический метод оптимального моделирования гладких дифференциальных поверхностей при итерационном проектировании технических объектов на транспорте// монография. Москва: ФГАОУ ВО «Московский университет путей сообщения». РОАТ. 2017. 103с.
2.Панченко В.А. Моделирование солнечных теплофотоэлектрических модулей // Электротехнологии и электрооборудование в АПК, 2019, 2 (35), с. 71 – 77.
3.Левчук Т.В., Лочканов Д.С., Морозов К.О. Компьютерное и математическое моделирование экономических и транспортных процессов// История и перспективы развития транспорта на севере России. 2014. №1. С.82-84.
4.Левчук Т.В., Казаков М.С., Зверев А.С. Оптимизация систем массового обслуживания// История и перспективы развития транспорта на севере России. 2014. №1. С.84-87.
5.Левчук Т.В., Захаров К.О., Вороненков А.А. Системы управления измерениями// История и перспективы развития транспорта на севере России. 2014. №1. С.190-194.
6.Панченко В.А. Моделирование теплофотоэлектрических модулей для энергоснабжения инфраструктурных объектов // Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта: межвузовский сборник научных трудов – Москва: Российский университет транспорта (МИИТ), 2018, с. 100 – 109.
7.Панченко В.А. Моделирование солнечных теплофотоэлектрических модулей различной конструкции // Экологическая, промышленная и энергетическая безопасность – 2019: сборник статей по материалам международной научно-практической конференции: “Экологическая, промышленная и энергетическая безопасность – 2019” (23 – 26 сентября 2019 г.) – Севастополь: СевГУ, 2019, с. 1255 – 1259.
8.Левчук Т.В., Втулкин М.Ю. Инновационные технологии на железнодорожном транспорте// История и перспективы развития транспорта на севере России. 2012. №1. С.68-71.
9.Sergey Sinitsyn, Vladimir Panchenko, ValeriyKharchenko, PandianVasant. Optimization of Parquetting of the Concentrator of Photovoltaic Thermal Module // Intelligent Computing & Optimization. Advances in Intelligent Systems and Computing, Volume 1072, 2020, pp. 160 – 169, https://doi.org/10.1007/978-3-030-33585-4_16.