Введение
Важным
процессом разработки ракетных двигателей твердого топлива (РДТТ) и любых
двигательных установок (ДУ) — является математическое моделирование рабочих
процессов, происходящих внутри него. Разработка простых математических моделей
является перспективным направлением научных работ, т.к. позволяет существенно
повысить скорость работ и снизить их стоимость на начальном этапе
проектирования.
В
рамках проведенной работы была реализована математическая модель расчета внутрибаллистических
характеристик ракетного двигателя на твердом топливе, а также методика
построения профилированного сопла. Методика расчета внутрибаллистических
характеристик также может применяться в комбинированных ракетных двигателях на
твердом топливе (КРПД-Т) при расчете маршевого газогенератора.
Рисунок 1
Расчет
внутрибаллистических характеристик РДТТ
На
этапе проектирования, при термодинамических расчетах прибегают к модели
равновесного состояния продуктов сгорания. При наличии конденсированных фаз в
продуктах сгорания топлива поток условно рассматривается как газ, подчиняющийся
уравнению состояния идеального газа (1) с введением поправки в газовую
постоянную (2).
(1)
, (2)
где z
— массовая доля всех конденсированных фаз.
Система
уравнений внутренней баллистики для камеры сгорания газогенератора:
(3)
(4)
(5)
(6)
где,
(3) — уравнение баланса массы,
(4)
— уравнение баланса энергии,
(5)
— уравнение изменения свободного объема,
(6)
— изменение свода горения.
Используя
уравнение состояния идеального газа (1) найдем массу продуктов сгорания в
камере газогенератора.
(7)
— газоприход с поверхности заряда;
(8) —
расход продуктов сгорания через сопло;
(9)
— внутренняя энергия продуктов сгорания;
(10)
— энтальпия продуктов сгорания;
(11)
— энтальпия маршевого топлива.
Подставляя
эти выражения в уравнения (3), (4), (5) и (6) получим систему дифференциальных
уравнений:
(12)
(13)
— комплекс-функция A(γ)
(14)
— закон горения твердого топлива
(15) —
коэффициент в законе горения
Зависимости
термодинамических характеристик продуктов сгорания твердого топлива 
, 
, 
находятся в
результате термодинамического расчета равновесного состояния.
Система
дифференциальных уравнений (12) имеет 4 начальных условия. Для определения
первого 
запишем уравнение
баланса массы (3) для стационарного процесса в начальный момент времени,
производная по времени равна нулю, поэтому:
(16)
Из
полученного уравнения не удается явно выразить 
, т.к. R,
T и γ сами являются функциями давления, но решение может быть
найдено численно.
Остальные
начальные условия свода горения, начального свободного объема и температуры
имеют вид:
(17)
Результаты
численного решения системы дифференциальных уравнений (12) представлен на
рисунках 2 и 3. Решение получено методом Эйлера, реализованным в среде MatLAB.
Рисунок 2
Рисунок 3
Результаты
внутрибаллистического расчета ракетного двигателя твердого топлива используются
далее для моделирования оптимального профиля сопла в заданных геометрических
ограничениях.
Моделирование
оптимального профиля сопла Лаваля
Геометрическими
ограничениями являются:
длина
сопла — l
радиус
среза — R1
критический
радиус — Rкр
Моделирование
профиля сопла состоит из трех участков (рис. 4):
1-2:
профиль сверхзвуковой части сопла
4-3:
дозвуковая часть
3-1:
переход с критики
3:
критическое сечение
1:
начало профилирования сопла
Рисунок 4
Переход
дозвуковой части на критическое сечение и с критического сечения на профиль
сверхзвуковой части сопла строится окружностями, центры которых лежат на одной
линии в плоскости критики (точка 3). На участке 3-1 радиус скругления берется
из отношения 
, а на участке 4-3
из 
.
Координаты
точки 1 высчитываются из уравнений:
(18)
Углы
наклона касательной к параболе θ
берутся из графика (рис. 5)
Рисунок 5
Длина
профилированного сопла берется как часть длины эквивалентного конического сопла
с полууглом раструба = 15о. Длина эквивалентного конического сопла
считается по формуле:
(19)
Сама
профилированная часть сопла представляет собой параболу и строится по формуле:
(20)
Коэффициенты
для построения параболы:
(21)
Профилирование
сопла реализовано в среде MatLab,
представлен пример работы программы (рис. 6):
Рисунок
6
Сопло
построенное по результатам работы программы (рис. 7):
Рисунок 7
Таким
образом, представленная методика расчета ракетного двигателя твердого топлива и
проектирования оптимальной геометрии профилированного сопла позволяет
определить:
—
внутрибаллистические характеристики двигателя;
—
координаты точек обвода сопла.
Литература
1.
«РПД на твердых и пастообразных топливах»
— Сорокин В.А., Яновский Л.С., Козлов В.А., Москва ФИЗМАТЛИТ 2010г.
2.
«Интегральные ПВРД на твердых топливах» — Александров
В.Н., Быцкевич В.М., Верхоломов В.К., Москва ИКЦ «АКАДЕМКНИГА» 2006г.
3.
«Течения газа в соплах» — Пирумов У.Г.,
Росляков Г.С., Издательство Московского университета 1978г.
4.
«Recent
developments in rocket nozzle configurations» — RAO G.V.R., National
engineering science Co. Pasadena, Calif.
5.
«Rocket
Propulsion Elements» — George P. Sutton, A Wiley-Interscience Publication, 2001
