Информационная модель точности предельной аппроксимации непрерывной гладкой кривой отрезками ломаной

Предположим,
что в декартовой системе координатOXYZпространства
R³задана
кривая l, обладающая
определенными дифференциальными свойствами (рис.1). Зададим на кривой l
множество точек ,i=1,2,…,N
таким образом, чтобы равновеликие сферы рассеяния погрешностей задания соседних
точек не пересекались.  Минимальное расстояние между соседними точками определяется
соотношением[1,c.41]:

                                            
.                         
              (1)

              
Рис.1.Схема предельной точности задания линейного обвода

Соединяя
несмещенные оценки точек отрезками, получим
некоторую ломаную ,
аппроксимирующую гладкую кривую l.
Установим информационное соответствие между точностью задания кривой l 
ломаной в заданной системе
отсчета OXYZ.

При
выполнении условия (1) при выборе минимального шага точечной аппроксимации
кривойl,
информация о точности ее задания определяется соотношением

                                             
,  
                                (2)

где –длина ограниченной кривой
l.

Если
к правой части (2) прибавить и вычесть постоянную величину ,
то равенство не нарушится:

                                         
,               
           (3)

Соотношение
(3) преобразуется с учетом свойства логарифмической функции:

                                        
,                 
          (4)

где
 –
длина аппроксимирующей ломаной.

Первое
слагаемое в правой части выражения (4) определяет  количество информации о
точности задания аппроксимирующей ломаной [2,c.73]:

                                           
.                           
          (5)

Так
как длина кривой l больше суммарной
длины аппроксимирующей ломаной,
то отношение под знаком логарифма в правой части (5) всегда больше единицы,
т.е. логарифм положителен. Следовательно, при аппроксимации непрерывной гладкой
кривой ломаной имеет место потеря информации, связанной с точностью задания линейных
геометрических объектов. Величина потери определяется логарифмическим
отношением:

                                                   
                   
                                      (6)

Если
оценивать предельное состояние равенства (5) при бесконечном уменьшении метрики,
то оказывается, чтов формуле:

                   
 = lim + lim (7)

второе
слагаемое равно нулю и информация о точности задания кривой соответствует
информации о точности задания аппроксимирующей ломаной [3,c.83].

При
ограниченном параметре N
в общем случае имеет место соотношение:

                                               
,              
                              (8)

где
d –
положительное число, зависящее от шага аппроксимации кривой.

С
точки зрения метрической определенности кривой [4,c.86],
связанной с ее предельной дискретизацией метрикой e_t,
параметр d принимает
нулевое значение при шаге дискретизации .
В этом случае имеет место равенство информаций:

                                       
       .                  
                               (9)

Таким
образом, с информационной точки зрения, точность задания гладкой кривой l
соответствует точности задания аппроксимирующей ломаной  с
шагом дискретизации, не превышающим величины минимальной метрики,
либо D_эдля
энтропийных оценок.

Очевидно,
что для заданной ячейки измеримости [5,c.192]e_t,
криваяl может быть задана
множеством точек с полной информационной определенностью, если их число равно

                                                    
  (N-1) = ,                                                    
(10)

где
 – длина кривой l,
измеренная
в единицах e_t;
D_э—
величина энтропийного интервала предельной измеримости (=
).

Подставляя
параметр D_эв
(10), получаем выражение размерности точечного массива [6,c.104]
с учетом величины заданной минимальной метрикиe_м:

                                                   
.
                                          (11)

Выбор
параметра N на основании формулы (11)
геометрически означает [7,c.1257],
что равновеликие круги рассеяния всех точек дискретного ряда кривойl
касаются друг друга, а их радиус равен:

                                              
 = /12.                                            (12)

Соотношение
(11) с учетом положительной определенности его правой и левой частей может быть
прологарифмировано:

                                                     
.            
                         (13)

Преобразование
полученного соотношения с учетом свойства логарифмической функции [8,c.68]
(при e_м=1):

                                               
, 
                             (14)

позволяет
получить в правой части с учетом  (9) выражение информации о точности задания
аналитической кривойl
множеством точек .
Следовательно, и левая часть выражения (13) определяет информацию о точности
задания кривойl дискретным
точечным рядом размерности N
:

.                      
                           (15)

Соотношения
(13), (15) определяют предельные «верхние» условия нормировки параметров
размерности массивов точечных множеств [9,c.164]
при дискретном задании аналитической кривойl
в декартовой системе отсчетаOXYZ(e_м).

За
эталон кривой информации принимается линия, заданная двумя граничными точками  A
и B, которые могут быть
соединены любым способом, в том числе и отрезком:

                                          
.
                                   (16)

На
основании соотношений (15), (16) нормируется информационное содержание о
точности задания любой кривой в следующих пределах:          

                                               
0 ≤  Inf(P_i) ≤  ln,
                                           (17)

где
D_э–предельный
параметр измеримости, определяемый дифференциально-геометрическими свойствами
кривой.

                                       
       Список литературы

1.Синицын
С.А. Информационно-статистический метод оптимального моделирования гладких
дифференциальных поверхностей при итерационном проектировании технических
объектов на транспорте// монография.  Москва: ФГАОУ ВО «Московский университет
путей сообщения». РОАТ. 2017.  103с.

2.Панченко
В.А. Моделирование солнечных теплофотоэлектрических модулей //
Электротехнологии и электрооборудование в АПК, 2019, 2 (35), с. 71 – 77.

3.Левчук
Т.В., Лочканов Д.С., Морозов К.О. Компьютерное и математическое моделирование
экономических и транспортных процессов// История и перспективы развития
транспорта на севере России. 2014. №1. С.82-84.

4.Левчук
Т.В., Казаков М.С., Зверев А.С. Оптимизация систем массового обслуживания//
История и перспективы развития транспорта на севере России. 2014. №1. С.84-87.

5.Левчук
Т.В., Захаров К.О., Вороненков А.А. Системы управления измерениями// История и
перспективы развития транспорта на севере России. 2014. №1. С.190-194.

6.Панченко
В.А. Моделирование теплофотоэлектрических модулей для энергоснабжения
инфраструктурных объектов // Современные проблемы совершенствования работы
железнодорожного транспорта: межвузовский сборник научных трудов – Москва:
Российский университет транспорта (МИИТ), 2018, с. 100 – 109.

7.Панченко
В.А. Моделирование солнечных теплофотоэлектрических модулей различной
конструкции // Экологическая, промышленная и энергетическая безопасность –
2019: сборник статей по материалам международной научно-практической
конференции: “Экологическая, промышленная и энергетическая безопасность – 2019”
(23 – 26 сентября 2019 г.) – Севастополь: СевГУ, 2019, с. 1255 – 1259.

8.Левчук
Т.В., Втулкин М.Ю. Инновационные технологии на железнодорожном транспорте//
История и перспективы развития транспорта на севере России. 2012. №1. С.68-71.

9.Sergey
Sinitsyn, Vladimir Panchenko, ValeriyKharchenko, PandianVasant. Optimization of
Parquetting of the Concentrator of Photovoltaic Thermal Module // Intelligent
Computing & Optimization. Advances in Intelligent Systems and Computing,
Volume 1072, 2020, pp. 160 – 169, https://doi.org/10.1007/978-3-030-33585-4_16.