Н е р а в е н с т в о К о ш и – Б у н я к о в с к о г о – Ш в а р ц а.
В общем случае неравенство Коши — Буняковского — Шварца имеет вид
для любых двух наборов действительных чисел и , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти наборы пропорциональны:
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Рассмотрим два набора любых действительных чисел .
Составим выражение
так как ,
Раскрывая каждую скобку (квадрат разности) имеем:
Это квадратный трехчлен, который является неотрицательным, а следовательно его дискриминант неположительный, так как . Имеем
Отсюда следует
Что и требовалось доказать.
Мы рассматривали лишь случай, когда не все (случай, когда не интересен).
Рассмотрим теперь случай, когда трехчлен равен нулю, то есть . Отсюда следует, что все корни трехчлена равны между собой, то есть существует такое , что
Отсюда следует, что при условии, когда равенство выполняется!
С л е д с т в и е 1 .
Пусть в 1. Отсюда, в силу неравенства КБШ следует, что при
Классическое неравенство – среднее арифметическое не превосходит среднее геометрическое.
С л е д с т в и е 2 .
Возьмем теперь следующую группу чисел и
Тогда при (в силу неравенства КБШ) имеем:
Действительно, полагая
В силу неравенства Коши – Буняковского – Шварца:
То есть, среднее арифметическое не меньше среднего гармонического.
Замечание. Среднее гармоническое, получается, от деления числа данных величин на сумму величин обратных данным:
П р и м е р .
Доказать неравенство:
Р е ш е н и е .
Рассмотрим следующие две группы чисел: и
Тогда, в силу КБШ
Что и требовалось доказать.
Частный случай неравенства Коши – Буняковского – Шварца, когда .
Рассмотрим некую геометрическую ситуацию. Пусть и – два произвольных вектора на плоскости. Скалярное произведение этих векторов по абсолютной величине не превосходит произведения их длин:
Ввиду , где – угол между векторами.
Запишем это неравенство в координатах. Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат, и пусть и — единичные базисные векторы, направленные вдоль оси координат. Тогда векторы и можно разложить по базисным векторам:
причём длины векторов и скалярное произведение выражаются через координаты векторов — числа — таким образом:
В результате наше неравенство примет вид
или
Это и есть неравенство Коши — Буняковского — Шварца (КБШ) в простейшем случае, когда Равенство достигается тогда и только тогда, когда координаты векторов пропорциональны: Действительно, пропорциональность координат равносильна коллинеарности векторов и , то есть условию или .
Список использованной литературы.
- Алексеев Р. Б., Курляндчич Л. Д. Неравенства // Математика в школе, 1990, № 3
- Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. 1965.
- Применение неравенства Буняковского-Коши к решению некоторых задач, В.К. Смышляев.
- Ю.П.Соловьёв. Неравенства. МЦМНО, 2005.
- Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.
- Фалин Г., Фалин А. Сложные задачи вступительных экзаменов в МГУ: неравенства о средних // Математика, 2006, №10.
- Ярский А. Как доказать неравенство // Квант, 1997, №2.
