МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ, ЕГО СТРУКТУРА И СПЕЦИФИКА

Познание человеком действительности предопределено его практической деятельностью. Способы осуществления этой деятельности обуславливаются целями человека, соответствующими его потребностям. Познанием человеком действительности является чувственное отражение. Разнообразие проявлений чувственного отражения способствует тому, что человек познает как отдельные свойства вещей, так и связи между их составляющими. Частями системы образов предметов и явлений являются их внешние свойства.

Потребности производственной деятельности человека часто не могут быть удовлетворены учетом внешних и чувственно доступных свойств предметов, тогда преобразующая деятельность человека ориентируется на выделение внутренних свойств предметов и явлений. Данная деятельность позволяет значительно расширить границы познавательных возможностей человека, демонстрируя внутренние свойства, связи и отношения в предметах и явлениях действительности. Такой путь познания приводит к своей высшей форме – мышлению.

«Мышление дает знание о существенных свойствах, связях и отношениях объективной реальности, осуществляет в процессе познания переход «от явления к сущности», — пишет А.Н. Леонтьев. [8]

Наиболее полное и точное определение мышлению дает А. В. Брушлинский «Мышление – социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенного нового, т.е. процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и выходит далеко за его пределы». [3]

С.Л. Рубинштейн в своих трудах утверждает: «Психика человека осуществляет не только когнитивную, но и регулятивную функцию. Это качается и мышления. Мышление включено во взаимодействие человека с миром».

Мышление не функционирует само по себе, оно является неотъемлемой частью практической деятельности людей. Мышление функционирует, основываюсь на определенном предметном содержании, соотносимым с конкретной сферой действительности: мышление «есть процесс непрерывного взаимодействия познающего, мыслящего субъекта с познаваемым объектом, с объективным содержанием решаемой задачи» [11]

В процессе школьного обучения предметом изучения является определенным образом упорядоченное первоначальное содержание учебного предмета.

Разнообразие содержания мышления отражается на принципах выполнения мыслительных действий при работе с исходным материалом. В результате данных действий сформировываются определенные умения выполнять мыслительные действия конкретно на этом материале. Характер такого материала может быть принят в качестве критерия различения видов мышления. Таким образом можно выделить функционирование мышления на историческом, лингвистическом, математическом материале и т.д., назвав их «историческим», «лингвистическим», «математическим» мышлением.

Общие закономерности мышления обучающихся формируются, как и в образовательном процессе, так и в повседневной жизни. Смысл мышления заключается в том, что человеком не только владеет способами мыслительных действий, но и имеет понимание, что он может их применить к любому содержанию мысли.

Математическое мышление основывается на определенном предметно-содержательном материале, который подлежит мысленному преобразованию, а продуктом является новое математическое знание или решение математической задачи. Оно проявляется при работе с математическим материалом, операциях с математическими закономерностями и отношениями.

Согласно Ж. Пиаже: «Логико-математическое мышление – мышление, направленное на мысленное вычленение и выполнение системы операций на дооперационном уровне, уровне конкретных операций, уровне формальных операций, соответствующих указанным математическим структурам. [10]

Д. Ж. Икрамов писал «Под математическим мышлением, в основе которого лежат математические понятия и суждения, понимается совокупность взаимосвязанных логических операций; оперирование как свернутыми, так и развернутыми структурами; знаковыми системами математического языка, а также способность к пространственным представлениям, запоминанию и воображению. [6]

Математическое мышление обуславливается определенными умениями, выраженными А.И. Маркушевичем. Он считает, что умение абстрагироваться от незначительных деталей и определять смысл вопроса, умение определять характер математических отношений (отношений пространственного расположения, количества, порядка, меры) является основой математического мышления.

По мнению В.А. Крутецкого, мышление способных к математике учеников имеет отличительные черты: быстрое и широкое обобщение; стремление мыслить свернутыми умозаключениями; большая подвижность мыслительных процессов; свободное переключение от одной умственной операции к другой; тенденция к ясности; простоте, рациональности, экономичности, изяществу решения. Специфической особенностью математического мышления автор считает «способность к обобщению математических объектов, отношений и действий» [7]. 

В.А. Крутецкий выделяет следующие характеристики математического мышления:

• способность к формализации, отделению формы от содержания;
• способность обобщать математический материал, выделять главное, отвлекаясь от несущественного;
• способность к оперированию числовой и знаковой символикой;
• способность к «последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению»;
• способность к сокращению процесса рассуждения;
• способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);
• гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой;
• математическая память;
• способность к пространственным представлениям .

А.И. Голиков представляет под математическим мышлением «процесс опосредованного отражения в человеческом сознании количественных отношений и пространственных форм действительного мира; познавательную деятельность личности, характеризующуюся обобщенным и опосредованным отражением действительности».

Структура математического мышления состоит из следующих компонентов: теоретический анализ, планирование, рефлексия.

А.И. Голиков считает, что анализ служит для выделения общего способа решения задачи, который используется при работе с подобными задачами. Основная задача анализа – поиск отношений, заданных в условиях задачи. С помощью преобразования условия задачи выделяется основное отношение. Обучающиеся, которые владеют приемами анализа условия задачи, могут обнаружить все существенные для решения данные и установить между ними отношения, прямые и обратные связи, т.е. решают задачи более целенаправленно [4].

Планирование, по мнению В.В. Давыдова, заключается в создании алгоритма возможных действий и установлении оптимального для существенных условий задачи действия [5].

По определению Л.К. Максимова, «рефлексия состоит в обращении субъекта к основаниям своих собственных действий и рассмотрении их с точки зрения соответствия внутренним условиям задачи, особенностям ее структуры» [9]. Она проявляется в анализе внутреннего процесса решения задачи, который выполняет сам учащийся.

В своих работах А.И. Голиков предлагает давать задания, направленные на сравнение различных способов решения задачи, а затем изменять их, составляя новые задачи. По его мнению, подобные упражнения способствуют развитию способности к рефлексии. Умение учеником решать задачу разыми способами и составлять новую задачу, отличную от ранее решенной, свидетельствует о наличии у ученика способности к рефлексии.

Р.А. Атаханов уверен, что, когда ребенок уже справился с математической задачей, выявил закономерность в ее условии и мысленно спланировал решение, становится возможна рефлексия. Планирование же выполняется после анализа материала и на его основе. Все это создает базу для рефлексии учеником оснований своих действий и осуществления контроля. Подводя итог, исследователь подчеркивает: «Успешное выполнение рефлексии предполагает осуществление содержательного анализа и планирования; выполнение планирования предполагает также успешное выполнение содержательного анализа, создает платформу для действий планирования и рефлексии, но не гарантирует их безошибочное выполнение» [1]. 

По его мнению, в математическом мышлении развитие анализа, планирования и рефлексии происходит именно в такой последовательности, поэтому он принимает их за основные уровни развития мышления.  Р.А. Атаханов выделяет следующие уровни развития математического мышления: эмпирический уровень; уровень анализа; уровень планирования; уровень рефлексии [2].

Л.А. Сазонова в своем исследовании определяет математическое мышление учащихся как «особый вид теоретического мышления, специфический процесс отражения объективной реальности, осуществляемый на основе математических понятий и суждений, пространственных представлений, обобщений» [12]. По ее мнению, когда происходит процесс математического мышления, устанавливаются закономерности между различными предметами и явлениями действительности.

Рассмотрев различные подходы к определению математического мышления можно сделать вывод, что на данный момент нет единого определения данного термина.

Разделяя видение Р.А. Атаханова, В.В. Давыдова,  Л.К. Максимова, А.И. Голикова, мы считаем, что математическое мышление является теоретическим и имеет ряд специфических особенностей.

Список литературы

1. Атаханов, Р. А. К диагностике развития математического мышления / Р. А. Атаханов // Вопросы психологии. ‒ 1992.
2. Атаханов, Р. А. Уровни развития математического мышления / Р. А. Атаханов / под ред. В. В. Давыдова. ‒ Душанбе, 1993.
3. Буршлинский А.В. Психология мышления и кибернетика/ А.В. Буршлинский. – М., 1970.
4. Голиков, А. И. Теория и методика математического развития младших школьников в учебной деятельности : дис. … д-ра пед. наук: 13.00.02 / А. И. Голиков; МГУ. – М., 2008.
5. Давыдов, В. В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования / В. В. Давыдов. ‒ М.: Педагогика, 1986.
6. Икрамов Дж. Математическая культура школьника: Математические аспекты проблемы развития мышления и языка школьников при обучении математике. – Ташкент: Укутувчи, 1987.
7. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1968.
8. Леонтьев А.Н. Мышление // Хрестоматия по психологии. Психология мышления / Под ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В.В. Петухова. – М.: Изд-во МГУ, 1981.
9. Максимов, Л. К. Зависимость развития математического мышления школьников от характера обучения / Л. К. Максимов // Вопросы психологии. – 1979. – № 2.
10. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления // Преподавание математики. – М.: Учпедгиз, 1960.
11. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. – М.: Изд-во АН СССР, 1958.
12. Сазонова, Л. А. Развитие математического мышления учащегося в модульном обучении : автореф. дис. … канд. пед. наук: 13.00.01 / Л. А. Сазонова; Оренбур. гос. пед. ун-т. – Оренбург, 2006.
13. Atahanov, R. A. K diagnostike razvitija matematicheskogo myshlenija / R. A. Atahanov // Voprosy psihologii. ‒ 1992.
14. Atahanov, R. A. Urovni razvitija matematicheskogo myshlenija / R. A. Atahanov / pod red. V. V. Davydova. ‒ Dushanbe, 1993.
15. Burshlinskij A.V. Psihologija myshlenija i kibernetika/ A.V. Burshlinskij. – M., 1970.
16. Golikov, A. I. Teorija i metodika matematicheskogo razvitija mladshih shkol’nikov v uchebnoj dejatel’nosti : dis. … d-ra ped. nauk: 13.00.02 / A. I. Golikov; MGU. – M., 2008.
17. Davydov, V. V. Problemy razvivajushhego obuchenija: Opyt teoreticheskogo i jeksperimental’nogo psihologicheskogo issledovanija / V. V. Davydov. ‒ M.: Pedagogika, 1986.
18. Ikramov Dzh. Matematicheskaja kul’tura shkol’nika: Matematicheskie aspekty problemy razvitija myshlenija i jazyka shkol’nikov pri obuchenii matematike. – Tashkent: Ukutuvchi, 1987.
19. Kruteckij V.A. Psihologija matematicheskih sposobnostej shkol’nikov. – M.: Prosveshhenie, 1968.
20. Leont’ev A.N. Myshlenie // Hrestomatija po psihologii. Psihologija myshlenija / Pod red. Ju.B. Gippenrejter, V.V. Petuhova. – M.: Izd-vo MGU, 1981.
21. Maksimov, L. K. Zavisimost’ razvitija matematicheskogo myshlenija shkol’nikov ot haraktera obuchenija / L. K. Maksimov // Voprosy psihologii. – 1979. – № 2.
22. Piazhe Zh. Struktury matematicheskie i operatornye struktury myshlenija // Prepodavanie matematiki. – M.: Uchpedgiz, 1960.
23. Rubinshtejn S.L. O myshlenii i putjah ego issledovanija. – M.: Izd-vo AN SSSR, 1958.
24. Sazonova, L. A. Razvitie matematicheskogo myshlenija uchashhegosja v modul’nom obuchenii : avtoref. dis. … kand. ped. nauk: 13.00.01 / L. A. Sazonova; Orenbur. gos. ped. un-t. – Orenburg, 2006.