Н е р а в е н с т в о Г ё л ь д е р а .
Теорема. Пусть 
; 
,
причем 
.
Тогда
Замечание. Числа 
и 
называются сопряженными показателями, если .
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Для доказательства неравенства Гёльдера, нам понадобится следующее утверждение:
Оно справедливо в силу неравенства между взвешенными средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел:
Положим
Имеем
Мы получили, что
Что и требовалось доказать.
С л е д с т в и е .
В случае, когда 
получается неравенство Коши – Буняковского – Шварца для сумм 
:
П р и м е р 1 .
Пусть и – положительные числа такие, что . Доказать, что 
Р е ш е н и е .
Положим
Тогда правая часть нашего неравенства 
будет равна
Возьмем теперь
Так как
то
Аналогично
Теперь, пользуясь неравенством 
, получим:
Из этих неравенств следует, что
Итак, доказано, что левая часть неравенства не превосходит правой части, т.е. 
.
Список использованной литературы.
1. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. 1965.
2. Вавилов В. В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. 2007.
3. Калинин, С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: Учебное пособие по спецкурсу. 2002.
4. Коровкин П. П., Неравенства.1996.
5. Некоторые вопросы математического анализа и методики его преподавания: Сб. научн. статей. Киров: Издательство ВГГУ, 2001.
6. Харди, Г.Г. Неравенства. 1948.
