Теорема Менелая (прямая): «Если
на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки 
и 
,а
точка 
взята
на продолжении стороны AC за точку C (рис.1), то точки , и лежат
на одной прямой тогда и только тогда,когда выполнено равенство
Рис.1
Теорема Менелая (обратная): «Если
на продолжениях сторон AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки ,
и 
,то
точки ,
и лежат
на одной прямой тогда и только тогда,когда выполнено равенство
Рис.2
Задача: Точки 
и 
лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем 
. Прямые 
и 
пересекаются в точке O.
а) Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.
б) Найдите отношение площади
четырехугольника 
к площади
треугольника 
,если известно, что 
Решение: а) По теореме Менелая
имеем:
в 
:
,а в 
.Т.к. 
то 
,ч.т.д.
б) По теореме Менелая имеем:
Так как у треугольников 
общая высота 
,то 
. Следовательно,
.
Аналогично доказываем, что 
.Треугольники 
имеют общую высоту 
, поэтому 
Аналогично доказываем, что 
. Следовательно, 
Ответ:1:15
Задача: ABCD-четырехугольник.
М-середина AD. N-середина BC.MP=PK=KN. Доказать: ABCD-трапеция;DC=2AB.
Решение: Используем теорему
поочередно к треугольникам:
и секущая DO (точки пересечения O,P,D):
. Следовательно, 
и секущая OC (точки пересечения O,K,C):
.Следовательно,
и секущая AK (точки пересечения M,P,K):
. Следовательно,
и секущая PN (точки пересечения P,K,N):
. Следовательно,
Значит, DO=4PO; BO=2PO, т.е. 
CO=4OK; AO=2OK, т.е. 
В 
, 
вертикальные, следовательно, 
, следовательно,
(накрест лежащие при прямых AB и DC и секущей AC), следовательно, 
Значит, ABCD-трапеция.
Из равенств 
видно, что стороны подобных треугольников
и 
относятся как 
, значит, 
и DC=2AB, ч.т.д.
Список использованной литературы.
1. Атанасян
Л.С. и др. Геометрия. 7 – 9 класс. – М.: Просвещение, 2018.
2. Зетель
С.И. Новая геометрия треугольника. Гос. уч. – пед. изд-во, М.: 1962.
3. Шарыгин
И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996.
