Занимаясь изучением краевых задач доктрины функций в бесконечных областях [2] довольно нередко появляется надобность применения пространств функций, которые бы удовлетворяли условию Гёльдера по отношению к метрике сферы Римана [1].
Определение. Одноточечная компактификация евклидового пространства
есть метрика сферы Римана.
Согласно определению, окрестностями элемента в этой операции, преобразующей топологические пространства в компактные будут служить дополнения к шарам. Более того, непрерывность функции
в точке
означает существование предела
. При
стереографическая проекция устанавливает гомеоморфизм компакта
на единичную сферу
трехмерного пространства и поэтому компакт носит название сферы Римана. Отметим, собственно, что подобную проекцию можно установить и для
, что означает сохранность введенного термина и в данном случае [1].
Очевидно, инверсия
(1)
относительно сферы с центром в точке
осуществляет гомеоморфизм компакта
на себя, причем
и
. При
это преобразование будем обозначать
. Заметим, что оно переставляет точки
,
и взаимно обратно. Обратным к (1), в общем случае, является преобразование
.
Компакт можно наделить естественной структурой метрического пространства. С этой целью с каждой парой его точек
свяжем неотрицательное число
по формуле
Заметим, что тогда при
.
Лемма. Функция есть расстояние. Инверсия, заданная формулой (1), относительно функции
удовлетворяет следующей двусторонней оценке:
Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение леммы проверим выпонимость неравенства треугольника для трех точек . Заметим, собственно, что это неравенство уточняется непосредственно, когда одна из данных точек совпадает с
[2]. Поэтому нужно доказать неравенство
или, что равносильно, неравенство
Достаточно убедиться, что
. Данное неравенство очевидно, если одна из точек
совпадает с
. В общем случае после деления на
оно переходит в
где положено
и аналогично обозначение принято и для
. Так как
, аналогично для остальных пар точек, это неравенство совпадает с неравенством треугольника по отношению к евклидовой метрики. Перейдем к доказательству второго утверждения леммы, которое базируется на равенстве
(2)
Заметим, что равенство (2) равносильно следующему равенству: Левая часть этого выражения равна
что совпадает с его правой частью. В силу (1), (2) расстояние
можем записать в виде
откуда где
Остается заметить, что в силу очевидного неравенства
выполнена оценка
.
Определение. Условие Гёльдера [3] вводится и для функций, которые заданны на произвольном метрическом пространстве, по отношению к его метрике . Для этого нужно лишь заменить выражение
в условии
на выражение
. Соответствующий класс обозначим через
, указывая при необходимости метрику.
Как показано в [3] это пространство является банаховым относительно нормы .
Можно также ввести класс отображений
из метрического пространства
в
с помощью условия Гельдера
Отметим, собственно, что все основные свойства нормированных пространств и теорема об эквивалентности общепризнанных мер в банаховых пространствах сохраняют свою силу и в данном случае, поскольку при их доказательстве специфика евклидового расстояния никак не применялась.
Использованные источники
1. Ковалёва Л. А., Чернова О. В. Математика как неотъемлемая компонента образования инженера-специалиста // Наука и образование: отечественный и зарубежный опыт. Сборник трудов конференции Двадцать третьей международной научно-практической конференции. — 2019. — С. 116-120.
2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с.
3. Солдатов А. П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I / А. П. Солдатов // СМФН. – 2017. – Т. 63, № 1. – С. 1–189.