Расчет ракетных двигателей твердого топлива с соплом Лаваля

Calculation of solid fuel rocket engines with Laval nozzle

Введение

         Важным процессом разработки ракетных двигателей твердого топлива (РДТТ) и любых двигательных установок (ДУ) - является математическое моделирование рабочих процессов, происходящих внутри него. Разработка простых математических моделей является перспективным направлением научных работ, т.к. позволяет существенно повысить скорость работ и снизить их стоимость на начальном этапе проектирования.

В рамках проведенной работы была реализована математическая модель расчета внутрибаллистических характеристик ракетного двигателя на твердом топливе, а также методика построения профилированного сопла. Методика расчета внутрибаллистических характеристик также может применяться в комбинированных ракетных двигателях на твердом топливе (КРПД-Т) при расчете маршевого газогенератора.

Рисунок 1

Расчет внутрибаллистических характеристик РДТТ

         На этапе проектирования, при термодинамических расчетах прибегают к модели равновесного состояния продуктов сгорания. При наличии конденсированных фаз в продуктах сгорания топлива поток условно рассматривается как газ, подчиняющийся уравнению состояния идеального газа (1) с введением поправки в газовую постоянную (2).

                        (1)

,            (2)

где z - массовая доля всех конденсированных фаз.

Система уравнений внутренней баллистики для камеры сгорания газогенератора:

                         (3)

           (4)

                              (5)

                                   (6)

 

где,   (3) - уравнение баланса массы,

         (4) - уравнение баланса энергии,

         (5) - уравнение изменения свободного объема,

         (6) - изменение свода горения.

Используя уравнение состояния идеального газа (1) найдем массу продуктов сгорания в камере газогенератора.

 

 

                 (7) - газоприход с поверхности заряда;

            (8) - расход продуктов сгорания через сопло;

                         (9) - внутренняя энергия продуктов сгорания;

                          (10) - энтальпия продуктов сгорания;

                       (11) - энтальпия маршевого топлива.

Подставляя эти выражения в уравнения (3), (4), (5) и (6) получим систему дифференциальных уравнений:

               (12)

 

               (13) - комплекс-функция A(γ)

                              (14) - закон горения твердого топлива

 (15) - коэффициент в законе горения

Зависимости термодинамических характеристик продуктов сгорания твердого топлива  , ,  находятся в результате термодинамического расчета равновесного состояния.

Система дифференциальных уравнений (12) имеет 4 начальных условия. Для определения первого  запишем уравнение баланса массы (3) для стационарного процесса в начальный момент времени, производная по времени равна нулю, поэтому:

          (16)

Из полученного уравнения не удается явно выразить , т.к. R, T и γ сами являются функциями давления, но решение может быть найдено численно.

Остальные начальные условия свода горения, начального свободного объема и температуры имеют вид:

             (17)

Результаты численного решения системы дифференциальных уравнений (12) представлен на рисунках 2 и 3. Решение получено методом Эйлера, реализованным в среде MatLAB.

Рисунок 2

Рисунок 3

 

Результаты внутрибаллистического расчета ракетного двигателя твердого топлива используются далее для моделирования оптимального профиля сопла в заданных геометрических ограничениях.

 

 

Моделирование оптимального профиля сопла Лаваля

Геометрическими ограничениями являются:

длина сопла - l

радиус среза - R1

критический радиус - Rкр

Моделирование профиля сопла состоит из трех участков (рис. 4):

1-2: профиль сверхзвуковой части сопла

4-3: дозвуковая часть

3-1: переход с критики

3: критическое сечение

1: начало профилирования сопла

Рисунок 4

Переход дозвуковой части на критическое сечение и с критического сечения на профиль сверхзвуковой части сопла строится окружностями, центры которых лежат на одной линии в плоскости критики (точка 3). На участке 3-1 радиус скругления берется из отношения , а на участке 4-3 из  .

Координаты точки 1 высчитываются из уравнений:

        (18)

Углы наклона касательной к параболе θ берутся из графика (рис. 5)

Рисунок 5

Длина профилированного сопла берется как часть длины эквивалентного конического сопла с полууглом раструба = 15о. Длина эквивалентного конического сопла считается по формуле:

                (19)

Сама профилированная часть сопла представляет собой параболу и строится по формуле:

               (20)

Коэффициенты для построения параболы:

          (21)

 

Профилирование сопла реализовано в среде MatLab, представлен пример работы программы (рис. 6):

Рисунок 6

Сопло построенное по результатам работы программы (рис. 7):

Рисунок 7

Таким образом, представленная методика расчета ракетного двигателя твердого топлива и проектирования оптимальной геометрии профилированного сопла позволяет определить:

- внутрибаллистические характеристики двигателя;

- координаты точек обвода сопла.

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1.     «РПД на твердых и пастообразных топливах» - Сорокин В.А., Яновский Л.С., Козлов В.А., Москва ФИЗМАТЛИТ 2010г.

2.     «Интегральные ПВРД на твердых топливах» - Александров В.Н., Быцкевич В.М., Верхоломов В.К., Москва ИКЦ «АКАДЕМКНИГА» 2006г.

3.      «Течения газа в соплах» - Пирумов У.Г., Росляков Г.С., Издательство Московского университета 1978г.

4.     «Recent developments in rocket nozzle configurations» - RAO G.V.R., National engineering science Co. Pasadena, Calif.

5.     «Rocket Propulsion Elements» - George P. Sutton, A Wiley-Interscience Publication, 2001