ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ МЕНЕЛАЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЕГЭ

APPLICATION OF MENELAUS ' THEOREMS TO SOLVING UNIFIED STATE EXAM PROBLEMS

Теорема Менелая   (прямая): «Если на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки  и ,а точка  взята на продолжении стороны AC за точку C (рис.1), то точки ,  и   лежат на одной прямой тогда и только тогда,когда выполнено равенство

 

Теорема Менелая доказательство применения

                     Рис.1

Теорема Менелая  (обратная): «Если на продолжениях сторон AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки , и ,то точки , и  лежат на одной прямой тогда и только тогда,когда выполнено равенство

Теорема Менелая доказательство применения

                                    Рис.2

 

Задача: Точки  и  лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем . Прямые и пересекаются в точке O.

а) Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырехугольника  к площади

треугольника ,если известно, что

Надпись: O

Решение: а) По теореме Менелая имеем:

в :,а в .Т.к. то ,ч.т.д.

б) По теореме Менелая имеем:

Так как у треугольников общая высота ,то . Следовательно,.

Аналогично доказываем, что .Треугольники  имеют общую высоту , поэтому

Аналогично доказываем, что . Следовательно,

Ответ:1:15

Задача: ABCD-четырехугольник. М-середина AD. N-середина BC.MP=PK=KN. Доказать: ABCD-трапеция;DC=2AB.

 

 

 

 

 

 

 


 Решение: Используем теорему поочередно к треугольникам:

и секущая DO (точки пересечения O,P,D):. Следовательно,

 и секущая OC (точки пересечения O,K,C):.Следовательно,

 и секущая AK (точки пересечения M,P,K):. Следовательно,

 и секущая PN (точки пересечения P,K,N):. Следовательно,

Значит, DO=4PO; BO=2PO, т.е.

CO=4OK; AO=2OK, т.е.  

В ,  вертикальные, следовательно, , следовательно,(накрест лежащие при прямых AB и DC и секущей AC), следовательно,  Значит, ABCD-трапеция.

Из равенств  видно, что стороны подобных треугольников  и  относятся как  , значит,    и DC=2AB,   ч.т.д.

Список  использованной литературы.

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7 – 9 класс. – М.: Просвещение, 2018.

2. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Гос. уч. – пед. изд-во, М.: 1962.

3. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996.