НЕРАВЕНСТВО ГЁЛЬДЕРА

HELDER'S INEQUALITY

Н е р а в е н с т в о  Г ё л ь д е р а .

Теорема. Пусть  ; ,

причем .

Тогда

Замечание. Числа  и  называются сопряженными показателями,  если .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для доказательства неравенства Гёльдера, нам понадобится следующее утверждение:

Оно справедливо в силу неравенства между взвешенными средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел:

Положим

Имеем

Мы получили, что

Что и требовалось доказать.

С л е д с т в и е .

В случае, когда  получается неравенство Коши – Буняковского – Шварца для сумм :

П р и м е р  1 .

Пусть  и  – положительные числа такие, что  . Доказать, что

Р е ш е н и е .

Положим

Тогда правая часть нашего неравенства  будет равна

Возьмем теперь

Так как

то

Аналогично

Теперь, пользуясь неравенством , получим:

Из этих неравенств следует, что

Итак, доказано, что левая часть неравенства  не превосходит правой части, т.е. .

Список использованной литературы.

1.  Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. 1965.

2.  Вавилов В. В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. 2007.

3.  Калинин, С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: Учебное пособие по спецкурсу. 2002.

4. Коровкин П. П., Неравенства.1996.

5. Некоторые вопросы математического анализа и методики его преподавания: Сб. научн. статей.  Киров: Издательство ВГГУ, 2001.

6. Харди, Г.Г. Неравенства. 1948.