ОБ ОДНОМ КЛАССИЧЕСКОМ НЕРАВЕНСТВЕ

ON SOME CLASSICAL INEQUALITIES

Н е р а в е н с т в о  К о ш и – Б у н я к о в с к о г о – Ш в а р ц а.

В общем случае неравенство Коши — Буняковского — Шварца имеет вид

для любых двух наборов действительных чисел  и , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти наборы пропорциональны:

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим два набора любых действительных чисел .

Составим выражение

так как ,

Раскрывая каждую скобку (квадрат разности) имеем:

Это квадратный трехчлен, который является неотрицательным, а следовательно его дискриминант неположительный, так как . Имеем

Отсюда следует

Что и требовалось доказать.

Мы рассматривали лишь случай, когда не все  (случай, когда                  не интересен).

Рассмотрим теперь случай, когда трехчлен равен нулю, то есть . Отсюда следует, что все корни трехчлена равны между собой, то есть существует такое , что

 

Отсюда следует, что при условии, когда  равенство выполняется!

С л е д с т в и е  1 .

Пусть в   1. Отсюда, в силу неравенства КБШ следует, что при

Классическое неравенство – среднее арифметическое не превосходит среднее геометрическое.

С л е д с т в и е  2 .

Возьмем теперь следующую группу чисел  и

Тогда при  (в силу неравенства КБШ) имеем:

Действительно, полагая

 

В силу неравенства Коши – Буняковского – Шварца:

То есть, среднее арифметическое не меньше среднего гармонического.

Замечание. Среднее гармоническое, получается, от деления числа данных величин на сумму величин обратных данным:

П р и м е р .

Доказать неравенство:

Р е ш е н и е .

Рассмотрим следующие две группы чисел: и

Тогда, в силу КБШ

Что и требовалось доказать.

 Частный случай неравенства Коши – Буняковского – Шварца, когда .

Рассмотрим некую геометрическую ситуацию. Пусть  и  – два произвольных вектора на плоскости. Скалярное произведение этих векторов по абсолютной величине не превосходит произведения их длин:

Ввиду , где  – угол между векторами.

Запишем это неравенство в координатах. Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат, и пусть  и  — единичные базисные векторы, направленные вдоль оси координат. Тогда векторы  и  можно разложить по базисным векторам:

причём длины векторов и скалярное произведение выражаются через координаты векторов — числа  — таким образом:

В результате наше неравенство примет вид

или

Это и есть неравенство Коши — Буняковского — Шварца (КБШ) в простейшем случае, когда Равенство достигается тогда и только тогда, когда координаты векторов пропорциональны: Действительно, пропорциональность координат равносильна коллинеарности векторов  и , то есть условию  или .

Список использованной литературы.

  1. Алексеев Р. Б., Курляндчич Л. Д. Неравенства // Математика в школе, 1990, № 3
  2. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. 1965.
  3. Применение неравенства Буняковского-Коши к решению некоторых задач, В.К. Смышляев.
  4. Ю.П.Соловьёв. Неравенства. МЦМНО, 2005.
  5. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.
  6. Фалин Г., Фалин А. Сложные задачи вступительных экзаменов в МГУ: неравенства о средних // Математика, 2006, №10.
  7. Ярский А. Как доказать неравенство // Квант, 1997, №2.