УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

HIGHER DEGREE EQUATIONS

В то время как методами решения квадратных уравнений владели еще древние греки, открытие  методов решения уравнений третьей и четвертой степени относится к 16 веку. После этого почти три столетия продолжались неудачные попытки сделать следующий шаг, т.е. найти такие формулы, которые выражают при помощи радикалов корни любого уравнения пятой степени через его коэффициенты. Эти попытки прекратились лишь в первой половине 19 века, когда норвежский математик Нильс Хенрик Абель доказал, что такие формулы для уравнений   степени при любом  заведомо не могут быть найдены.

Теорема (Абеля): Не существует формулы, дающей решение произвольного алгебраического уравнения степени выше четырех.

Доказательство этой теоремы (теоремы Абеля) выходит за рамки настоящей работы.

Отметим, что работа Нильса Абеля в этом направлении положила начало развитию новой теории.

В связи с развитием ЭВМ, у современного исследователя имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам. Но идея методов нахождения точных корней уравнений ( ) остается актуальной.

  • В основе одного из таких методов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:

Теорема:

Если несократимая дробь  является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то ее числитель  является делителем свободного члена , а знаменатель  – делителем  старшего коэффициента .

Доказательство:

Достаточно подставить в уравнение     и умножить уравнение на  . Получим:

Все слагаемые в левой части , кроме последнего, делятся на , поэтому и  делится на , а так как  – взаимно простые числа,  является делителем . Доказательство для  аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа «кандидатов».

Пример. Найти корни многочлена:

Рассмотрим свободный член данного многочлена, делителями которого являются : . Переберем их:

Итак,  является целым корнем многочлена . Разделим  на , получим:

Вычислим корни квадратного трехчлена  . В результате имеем:

Многочлен  имеет 3 рациональных корня:

Условие теоремы также соблюдено.

  • Метод неопределенных коэффициентов.

Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньших степеней с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение:

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов с неизвестными коэффициентами:

Раскрываем скобки в правой части и приводим подобные:       

Далее, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях  в обеих частях, получим систему уравнений

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что , тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два варианта :  Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них дает искомое разложение:

          

Этот способ решения называется методом неопределенных коэффициентов.

Если же уравнение имеет вид , где P и Q  многочлены, то замена  сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней:

Пример. Решить уравнение:

Решение:

Рассмотрим 2 варианта:

Вторая пара из них дает искомое разложение:

.

 Осталось приравнять квадратные трехчлены в скобках к нулю и найти корни:

  • Возвратные уравнения.

Уравнение четвертой степени

Называется возвратным, если отношение свободного члена к старшему коэффициенту равно квадрату отношения коэффициентов при  и при , т.е.

Возвратные уравнения легко решаются посредством специального введения нового неизвестного. Покажем это на примере.

Пример. Решить уравнение:

Решение: Это уравнение возвратное, так как здесь

И, следовательно,

Прием заключается в следующем. Объединим первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и поделим обе части на . Получим:

Введем новое неизвестное  . Тогда:

И, следовательно,

Принимая это во внимание, получим следующее уравнение относительно :

Решив его, получим .

Возвращаясь к неизвестному , мы получим относительно него два уравнения:

Решив их, получим:

Указанный в приведенном примере прием применим к любому возвратному уравнению.

Действительно, пусть уравнение:

возвратное, т.е. 

Обозначим отношение  через . Тогда . Принимая это во внимание и поделив обе части уравнения на , приведем уравнение к виду:

Теперь ясно, что подстановка  приведет к цели, ибо

Частным случаем возвратных уравнений являются так называемые симметрические уравнения  Для них после преобразования к виду:

Применяют подстановку . Тогда  и уравнение приводится к квадратному относительно .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

Данная работа является методической и может быть полезной в различных кружковых работах (по математике) или же может быть использована как элективный курс в 10-11 классах.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Gel'fand I.M. Lekcii po linejnoj algebre - «Nauka», 1971.
  2. Gjunter N.M., Kuz'min R.O. Sbornik zadach po vysshej matematike - «Lan'», 2003.
  3. Korn G. i Korn T. Spravochnik po matematike dlja nauchnyh rabotnikov i inzhenerov - «Nauka», 1970.
  4. Puninskaja V.A., Puninskij G.E. Matematika v istoricheskom aspekte - «Sojuz», 1996.
  5. Rybnikov K.A. Istorija matematiki - Izd-vo MGU, 1960.
  6. Sominskij I.S., Faddeev D.K. Algebra dlja samoobrazovanija - «Nauka», 1966.