ХАОС. ЧТО ТАКОЕ ХАОТИЧЕСКИЙ АТТРАКТОР?

CHAOS. WHAT IS A CHAOTIC ATTRACTOR?

 

1.     Введение

Слово «хаос» знакомо многим еще с древних времен и имеет множество значений.  Это и «беспорядок», и «беспорядочная материя, неорганизованная стихия», и «беспредельная первобытная масса, из которой образовалось впоследствии все существующее».  

Но Дж. Йорк и Т. Ли в 1975 году в своей статье, посвященной обсуждению некоторых результатов исследования российской школы ввели слово «хаос» в математику применительно к детерминированным системам. И в настоящее время, один из разделов математики называется «Теория хаоса», который изучает кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем, не подверженных влиянию шумов или каких-либо случайных сил. Специалисты же рассматривают эту дисциплину как раздел теории динамических систем.

Ранее, еще со времен Ньютона, к описанию систем самого различного происхождения в физике и других естественных науках применяли динамический подход: сначала строится соответствующая математическая модель в виде динамических уравнений, а затем тем или иным способом изучается их решения, и при необходимости подтверждается экспериментальными данными. При этом состояние модели в любой момент времени должно было однозначно определяться начальными условиями.

Однако в 1963 году метеоролог Лоренц, связав математические идеи теории динамических систем с физической моделью, относящейся к гидродинамике, построил модель конвекции в атмосфере, описав ее через приближения очень сложных уравнений значительно более простыми уравнениями с тремя неизвестными. Численно решая их на компьютере, он обнаружил, что решения колеблются нерегулярным, почти случайным образом. А также выяснил, что если слегка изменить начальные значения переменных, то отклонения будут усиливаться, пока новое решение не окажется совершенно непохожем на исходное. Описанное им это явление ныне известно, как «эффект бабочки» [1].

Работа Э. Лоренца получила дальнейшее развитие и дала толчок для систематического изучения беспорядочного, случайного процесса, когда ход событий нельзя ни предсказать, ни воспроизвести и который в последствие получил название «хаос».

А Дж. Йорк и Т. Ли в своей статье еще и продемонстрировали всем, что хаос вездесущ, стабилен и структурирован. И заставили поверить в то, что сложные системы, ранее описывающиеся трудными для решения дифференциальными уравнениями, могут быть представлены с помощью наглядных графиков.

Большую роль в математике имеет установление связей между двумя множествами  и , связанное с рассмотрением пар объектов, образованных из элементов первого множества и соответствующих элементов второго множества. Особое значение при этом имеет отображение множеств.

Поэтому далее рассмотрим математическое определение отображения, которое будет хаотичным во всем пространстве, где это отображение определено, а также объединим понятия хаоса и аттракторов для определения хаотического аттрактора. Следует учесть, что за все время исследования в данной области было дано несколько разных определений хаоса, которые подчеркивают различные аспекты отображения.

 

2.     Базовые определения

Начнем с основных определений и свойств, необходимых для определения хаотического аттрактора.

Приведенные ниже определения для диффеоморфизма (отображения) аналогичны определениям для системы дифференциальных уравнений.

·     Орбита точки  по F – это множество

·        Инвариантным множеством (остающемся неизменным при определенных преобразованиях)  множеством для диффеоморфизма F является множество А в такой области, что  Поэтому для любого x в А орбита  полностью содержится в А.

·        Инвариантное множество А топологически транзитивно при условии, что в А существует такая точка  , что ее орбита или сама точка   являются плотными в А, т.е.

·        Диффеоморфизм F имеет чувствительную зависимость от начальных условий, когда ограничено множество А, при условии, что для любой точки существует  такое, что для всех  существуют  и  такие, что  и  Это условие означает, что ближайшая точка y, орбита которой отлична от орбиты точки x, может быть выбрана из множества A, а не только из окружающего пространства.

·    Орбита  в инвариантном множестве А называется неустойчивой относительно А для F при условии, что существует  такое, что для каждого  существуют  и  такие, что  и  

Введем и другое понятие чувствительной зависимости F от начальных условий при ограничении множества А, используя приведенные ранее определения, а также введем определение цепно-рекуррентного множества.

·        Пусть А – компактное топологически транзитивное инвариантное множество для диффеоморфизма F. F имеет чувствительную зависимость от начальных условий, когда ограничено А, тогда и только тогда, когда существует плотная орбита  в А, которая неустойчива относительно А [2].

·     Точка  является цепно-рекуррентной при условии, что для каждого  существует множество точек  такое, что   и  для

·    Цепно-рекуррентное множество  – это множество всех точек, которые являются цепно-рекуррентными для F.

Вспомним еще определение устойчивости точки по Ляпунову и следующее из него определение асимптотической устойчивости, которые будут часто использоваться в дальнейшем.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

 

                                                       (1)

Пусть точка является положением равновесия, то есть  Пусть  – решение этого уравнения с начальным условием .

·     Особая точка  называется устойчивой по Ляпунову, если для всякого  найдется такое , что для всякого начального условия  (здесь  – -окрестность точки ), решение с этим начальным условием не покинет  -окрестность точки  (то есть для всякого ).

·     Особая точка  называется асимптотически устойчивой, если она устойчива по Ляпунову и существует такое , что для всякого начального условия  верно следующее:  [3].

Определим понятие показателя Ляпунова.

·        Показатель Ляпунова динамической системы — величина, характеризующая скорость удаления друг от друга траекторий. Положительность показателя Ляпунова обычно свидетельствует о хаотическом поведении системы.

Поток динамической системы определяется как однопараметрическое семейство отображений;

                                            (2)

где  – траектория в динамической системе. Показатель Ляпунова можно определить следующим образом:

                                   (3)

 

3.     Аттрактор, хаос и хаотический аттрактор

Какими же инструментами располагает теория хаоса? В первую очередь – это аттракторы и фракталы.

Фрактал – геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна своей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической [4]. На Рисунке 1 показано, как строится триадная кривая Кох, которая является примером геометрического фрактала.

 

http://algolist.manual.ru/graphics/img/kokh.gif

Рис. 1 – Построение триадной кривой Кох.

Аттрактор — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени [5].

Определение аттрактора в данной статье (см. [6], [7]) аналогично асимптотической устойчивости неподвижной точки. Поэтому будет дано определение в терминах области захвата.

·        Множество U называется областью захвата U для отображения F, если его замыкание компактно и  Так как замыкание отображается во внутреннюю часть, множество отображается внутри себя.

·        Множество А называется притягивающим множеством, если существует область захвата U такая, что Поскольку область захвата имеет компактное замыкание, притягивающее множество обязательно компактно.

·        Множество А называется аттрактором для F, если оно является притягивающим множеством таким, что не существует нетривиальных субтрактивных множеств, т.е. нет притягивающего множества  такого, что

Следующая теорема, являющаяся следствием фундаментальной теоремы Конли о динамических системах (см. [6]), связывает «минимальность» притягивающего множества с цепно-рекуррентным множеством.

Теорема 1.

1)  Аттрактор содержится в цепно-рекуррентном множестве,

2)    Притягивающее множество А, содержащееся в цепно-рекуррентном множестве,   является аттрактором.

3)    Аттрактор представляет собой изолированный цепно-транзитивный компонент цепно-рекуррентного множества.

Существуют и другие определения аттрактора. Самое распространенное из них было дано Милнором. 

Бассейном притягивающего инвариантного множества А является множество где  – -предельное множество точек.

Инвариантное множество А является аттрактором Милнора при условии, что мера Лебега  положительна. Идея состоит в том, что существует множество положительных мер, точки которых стремятся к инвариантному множеству при будущей итерации. Это означает, что существует положительная вероятность наблюдения инвариантного множества при выборе начального условия. Аттрактор Милнора не должен притягивать все точки в окрестности и не должен быть устойчивым по Ляпунову.

Р. Девани был первым, кто дал точное математическое определение хаотической системы (см. [8]). Он определил отображение  как хаотическое на X при условии, что выполнены следующие условия:

1)    F имеет чувствительную зависимость от Х.

2)   F топологически транзитивно, т.е. существует  такая, что

3)    Периодические точки плотны в X [9].

Обратите внимание, что его определение относится только к отображению всей области. Бэнкс, Брукс и др. показали (см. [10]), что условия (2) и (3) подразумевают условие (1).

Помимо вопроса «корректного» определения хаоса, существует также вопрос о том, как объединить определение хаоса с определением аттрактора. Ниже рассмотрим и этот последний вопрос.

Диффеоморфизм F называется хаотическим на инвариантном множестве A, если выполнены следующие условия:

1)    Диффеоморфизм F имеет чувствительную зависимость от начальных условий при ограничении на A.

2)    Диффеоморфизм F является топологически транзитивным на A, т. е. существует такое , что .

Так множество A называется хаотическим аттрактором для диффеоморфизма F, при условии, что множество A является аттрактором для F, а F хаотичен на A.

На Рисунке 2 изображен аттрактор Лоренца, который является примером хаотического аттрактора.

 

https://alchemi.st/files/2013/12/divergence3final.png

Рис. 2 – Хаотический аттрактор Лоренца.

Как написано выше, существует несколько определений хаотического аттрактора. Вот некоторые из них.

Мартелли называет инвариантное множество A для  хаотическим при условии, что существует, которое удовлетворяет следующим свойствам:

1)   Орбита  неустойчива относительно A, т. е. существует такое , что для каждого  существуют  и  такие, что  и  (Следовательно, F имеет чувствительную зависимость от начальных условий, когда ограничено A).

2)  . (Таким образом, F топологически транзитивный на A).

Аллигуд, Сайер и Йорк дают другое определение (см. [11]). Они определяют множество A как хаотический аттрактор при условии, что выполнены следующие условия:

1)    Множество A является аттрактором Милнора, мера Лебега бассейна притяжения () положительна.

2)  Существует точка  такая, что выполняются следующие условия:

a)   существует хотя бы один положительный показатель Ляпунова , и все показатели Ляпунова отличны от нуля,  для всех j;

b)  . (Таким образом, F топологически транзитивно на A);

c)    не является периодической орбитой. В некоторых контекстах также требуется, чтобы аттрактор не был набором неподвижных точек и седловых связей (см. Пример 4.1.).

Хотелось бы отметить, что многие люди обсуждают хаос для систем, не показывая, что у них есть транзитивный аттрактор. Например, некоторые статьи о системе Лоренца показывают, что она содержит систему подковы, но не то, что она имеет транзитивный аттрактор. Единственное доказательство того, что система Лоренца для обычных значений параметров имеет хаотический аттрактор, - это доказательство Уорика Такера, которому помогает компьютер.

 

4.     Примеры, мотивирующие определение хаоса

В данной статье приводится несколько примеров, которые иллюстрируют необходимость условий в определении хаотического аттрактора.

Пример 4.1 (Cедловое соединение) [см. 7]. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

,                                                     (4)

                            (5)

Проверочная функция

                                      (6)

которая удовлетворяет следующей производной по времени:

                                   (7)

Поэтому решения с начальными условиями в окрестности стремятся к множеству уровней , которое является неподвижной точкой вместе с двумя гомоклиническими орбитами (т.е. если замкнутая траектория , введенная в пункте 2, сходится к одному и тому же положению равновесия при ) [12]. Следовательно, это множество является притягивающим множеством (cм. Рисунок 3). Все точки на  являются цепно-рекуррентными, поэтому оно также является аттрактором.

Поток на этом множестве не кажется хаотичным. Он также не удовлетворяет двум нашим условиям, чтобы называться хаотическим аттрактором.

Поток не топологически транзитивен на аттракторе, хотя существуют точки вне аттрактора, множество ω-пределов которых является полным аттрактором.

Он имеет чувствительную зависимость от начальных условий (в окружающем пространстве) во всех точках . Однако он не имеет чувствительной зависимости от начальных условий при ограничении на . Следовательно, он не удовлетворяет нашему определению хаотического аттрактора по двум причинам.

Для точки  в , поэтому и . Поскольку  не может быть равным  для  в ,  не удовлетворяет определению Аллигуда, Cайера и Йорка для хаотического аттрактора. Для точек  вне  , но численное моделирование показывает, что показатели Ляпунова, вероятно, равны нулю.

 

Рис. 3 – Фазовый портрет.

 

Пример 4.2. Добавляя переменные угла

      (по модулю 2π)                               (8)

      (по модулю 2π).                                   (9)

к примеру 4.1, мы получаем пример, который имеет чувствительную зависимость от начальных условий при ограничении на аттрактор. Чувствительная зависимость происходит от сдвига по θ-переменным. Однако этот пример не является топологически транзитивным на аттракторе, поэтому он все еще не удовлетворяет определению хаотического аттрактора.

Пример 4.3. Приведенные выше примеры не являются общими. Если мы добавим зависящее от времени возмущение к примеру 4.1, то гомоклиническая связь будет нарушена. Время одного отображения

,                                                   (10)

                  (11)

(по модулю 1).                                       (12)

имеет фазовый портрет, показанный на Рисунке 4.

Рис. 4 – Фазовый портрет.

Пример 4.4. Мартелли, Данг и Сеф приводят пример, подобный следующему, который, по их словам, не следует называть хаотичным [2]. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (в полярных координатах)

                                  (13)

                                                      (14)

Множество  является аттрактором (цепно-рекуррентным). Оно имеет чувствительную зависимость от начальных условий при ограничении на аттрактор, но при этом не должно называться хаотичным.

 

 

5.     Хаотический аттрактор с нулевой энтропией

Пример, приведенный в этом разделе, отличается от приведенного в предыдущем разделе: он удовлетворяет определению хаотического аттрактора, но у него нулевая топологическая энтропия.

Поскольку определение топологической энтропии является довольно техническим, оставим его для ссылок (см., например, [6] или [13]). Идея в том, что она измеряет сложность системы. Если система имеет положительную топологическую энтропию, то число «различных орбит» растет экспоненциально с ростом длины рассматриваемых орбит. В приведенном ниже примере число растет только линейно. Любая система с поперечной гомоклинической орбитой обладает положительной топологической энтропией.

Пример 5.1. Приведем пример, который является переходным на всех двух торах. Его можно превратить в аттрактор в большой размерной системе, добавив сжимающиеся направления. Пусть α – иррациональное число. Определим отображение

                                  (15)

Отображение является косым произведением двух торов. Это иррациональное вращение в переменной x. Вращение в переменной y зависит от точки x.

Чтобы увидеть, что отображение имеет нулевую энтропию, рассмотрим несколько точек  в том же слое над одним . Количество вращаемых точек зависит от итерации, но все вращаются на одну и ту же величину на каждой итерации. Следовательно, это отображение имеет нулевую энтропию для точек, начинающихся со всех слоев. Кроме того, отображение переменной x является просто иррациональным вращением и имеет нулевую энтропию. По теореме Боуэна (см. Замечание 9.1.11 в [6]) полное отображение имеет нулевую энтропию. Основная идея состоит в том, что орбиты для этого отображения расходятся с линейной скоростью, а не с экспоненциальной скоростью, поэтому отображение имеет нулевую энтропию.

Отображение имеет чувствительную зависимость от начальных условий из-за коэффициента сдвига. Если две точки начинаются с  и то они будут раздвигаться в переменной y при итерации.

В данном примере не показано непосредственно, что отображение является топологически транзитивным. По теореме Биркгофа о транзитивности (теорема 8.2.1 из [6]) достаточно показать, что для любых двух открытых множеств U и V найдется такое , что . Внутри пары таких открытых множеств можно найти квадраты; можно взять достаточно большое целое число k, чтобы найти  и  такие, что

                                     (16)

                                   (17)

Поэтому достаточно использовать такие квадраты для двух множеств. Пусть , поэтому . Тогда j-я итерация интервала  является линией в покрывающем пространстве из  в . Следовательно, если , то эта линия проходит хотя бы одно полное время вокруг направления y, а переменная x увеличивается на . Далее возьмем , такое что . Тогда  и все значения x на отрезке от  до  лежат между  и , а некоторое значение y по модулю должно равняться ; таким образом, изображение отрезка прямой должно пересекаться с V. Это доказывает, что -итерация U должна пересекаться с V.

Поскольку это свойство пересечения верно для любой пары открытых множеств, F топологически транзитивно по теореме Биркгофа о транзитивности.

Показатели Ляпунова этой системы равны нулю. Ясно, что длина вектора в направлении у сохраняется при итерации, поэтому такой вектор дает нулевой показатель Ляпунова. Система сохраняет площадь, поэтому другой показатель Ляпунова также должен быть равен нулю. Следовательно, это отображение не удовлетворяет условиям Аллигуда, Сайера и Йорка, которые можно назвать хаотичными. Их определение требует, чтобы орбиты разделялись с экспоненциальной скоростью, что ближе к требованию, что система имеет положительную топологическую энтропию.

6.     Заключение

Может создаться впечатление, что теория хаоса не должна иметь каких-либо полезных применений, поскольку хаотические системы непредсказуемы. Однако это неверно, во-первых, потому, что лишь некоторые аспекты хаотических систем непредсказуемы, и, во-вторых, потому, что полезность теории не ограничивается способностью прямого прогнозирования. В частности, теория хаоса предлагает новые методы анализа данных и обнаружения скрытых закономерностей там, где прежде систему считали случайной и никаких закономерностей в ее поведении не искали, полагая, что их просто не существует.

К числу наиболее перспективных применений теории хаоса принадлежит «хаотическое управление». В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень малым возмущением. В 1990 С.Гребоджи, Э.Отт и Дж.Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини – Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать «интеллектуальный» стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости – метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами [14].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.     HAOSA TEORIJa [Jelektronnyj resurs] // Jenciklopedija Krugosvet. URL: https://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/HAOSA_TEORIYA.html (data obrashhenija: 19.03.2020).

2.     M. Martelli, M. Dang, T. Seph. Defining Chaos // Math. Mag.. — 1998. — № 71. — S. 112-122.

3.     Ustojchivost' polozhenij ravnovesija [Jelektronnyj resurs] // Obyknovennye differencial'nye uravnenija. URL: http://math-info.hse.ru/odebook/chapter/label/chap:12:stability/ (data obrashhenija: 19.03.2020).

4.     Fraktal [Jelektronnyj resurs] // Akademik. URL: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/17872 (data obrashhenija: 19.03.2020).

5.     Attraktor [Jelektronnyj resurs] // Virtual'naja laboratorija. URL: https://vlab.wikia.org/ru/wiki/Attraktor (data obrashhenija: 19.03.2020).

6.     Clark Robinson. Dynamical systems : Stability, symbolic dynamics, and chaos. — Second Edition. — Boca Raton Florida : CRC Press Taylor & Francis Group, 1999. — 520 s.

7.     Clark Robinson. An Introduction to Dynamical Systems: Continuous and Discrete. — Upper Saddle River New Jersey : Pearson Prentice Hall, 2004. — 672 s.

8.     Mario Martelli. Introduction to Discrete Dynamical Systems and Chaos. — New York : A Wiley-Interscience publication, 1999. — 328 s.

9.     Robert L. Devejni [Jelektronnyj resurs] // Wikipedia. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_L._Devaney (data obrashhenija: 19.03.2020).

10. J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis, P. Stacey. On Devaney’s Definition of Chaos // American Mathematical Monthly. — 1992. — № 99(2). — S. 332-334.

11. Alligood, K., T. Sauer, J. Yorke. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. — First Edition. — New York–Berlin–Heidelberg : Springer–Verlag, 1996. — 603 s.

12. V. E. Belozerov, A. V. Belozerov. Gomoklinicheskie i geteroklinicheskie orbity kvadratichnyh sistem differencial'nyh uravnenij // VІSNIK DNU. Serіja "Modeljuvannja".. — 2010. — № 8. — S. 3-26.

13. H. Katok, B. Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. — Cambridge UK and New York : Cambridge University Press, 1995. — 824 s.

14. TEORIJa HAOSA. JeFFEKT BABOChKI. [Jelektronnyj resurs] // LiveEnternet.ru. URL: https://www.liveinternet.ru/users/bloodandmilk/post104734141/ (data obrashhenija: 19.03.2020).