ПРОСТРАНСТВО ГЁЛЬДЕРА НА СФЕРЕ РИМАНА

Занимаясь изучением краевых задач доктрины функций в бесконечных областях [2] довольно нередко появляется надобность применения пространств функций, которые бы удовлетворяли условию Гёльдера по отношению к метрике сферы Римана [1].

Определение. Одноточечная компактификация  евклидового пространства  есть метрика сферы Римана.

Согласно определению, окрестностями элемента  в этой операции, преобразующей топологические пространства в компактные будут служить дополнения к шарам. Более того, непрерывность функции  в точке  означает существование предела . При  стереографическая проекция устанавливает гомеоморфизм компакта  на единичную сферу  трехмерного пространства и поэтому компакт носит название сферы Римана. Отметим, собственно, что подобную проекцию можно установить и для , что означает сохранность введенного термина и в данном случае [1].

Очевидно, инверсия

                                                         (1)

относительно сферы  с центром в точке  осуществляет гомеоморфизм компакта  на себя, причем  и . При  это преобразование будем обозначать . Заметим, что оно переставляет точки ,  и взаимно обратно. Обратным к (1), в общем случае, является преобразование .

Компакт  можно наделить естественной структурой метрического пространства. С этой целью с каждой парой его точек  свяжем неотрицательное число  по формуле

Заметим, что тогда  при .

Лемма. Функция  есть расстояние. Инверсия, заданная формулой (1), относительно функции  удовлетворяет следующей двусторонней оценке:

Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение леммы проверим  выпонимость неравенства треугольника для трех точек . Заметим, собственно, что это неравенство уточняется непосредственно, когда одна из данных точек совпадает с  [2]. Поэтому нужно доказать неравенство  или, что равносильно, неравенство  Достаточно убедиться, что . Данное неравенство очевидно, если одна из точек  совпадает с . В общем случае после деления на  оно переходит в где положено  и аналогично обозначение принято и для . Так как

  , аналогично для остальных пар точек, это неравенство совпадает с неравенством треугольника по отношению к евклидовой метрики. Перейдем к доказательству второго утверждения леммы, которое базируется на равенстве

                                                               (2)

Заметим, что равенство (2) равносильно следующему равенству: Левая часть этого выражения равна  что совпадает с его правой частью. В силу (1), (2) расстояние  можем записать в виде

откуда  где  Остается заметить, что в силу очевидного неравенства  выполнена оценка .

Определение. Условие Гёльдера [3] вводится и для функций, которые заданны на произвольном метрическом пространстве, по отношению к его метрике . Для этого нужно лишь заменить выражение  в условии  на выражение .                              Соответствующий класс обозначим через

 , указывая при необходимости метрику.

Как показано в [3] это пространство является банаховым относительно нормы .

Можно также ввести класс  отображений  из метрического пространства  в  с помощью условия Гельдера

Отметим, собственно, что все основные свойства нормированных пространств и теорема об эквивалентности общепризнанных мер в банаховых пространствах сохраняют свою силу и в данном случае, поскольку при их доказательстве специфика евклидового расстояния никак не применялась.

Использованные источники

1.                  Ковалёва Л. А., Чернова О. В. Математика как неотъемлемая компонента образования инженера-специалиста // Наука и образование: отечественный и зарубежный опыт. Сборник трудов конференции Двадцать третьей международной научно-практической конференции. - 2019. - С. 116-120.

2.                  Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с.

3.                  Солдатов А. П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I / А. П. Солдатов // СМФН. – 2017. – Т. 63, № 1. – С. 1–189.