Информационная модель точности предельной аппроксимации непрерывной гладкой кривой отрезками ломаной

Information model for the accuracy of the limit approximation continuous smooth curve by broken line segments

 

Предположим, что в декартовой системе координатOXYZпространства R3задана кривая l, обладающая определенными дифференциальными свойствами (рис.1). Зададим на кривой l множество точек ,i=1,2,…,N таким образом, чтобы равновеликие сферы рассеяния погрешностей задания соседних точек не пересекались.  Минимальное расстояние между соседними точками определяется соотношением[1,c.41]:

                                             .                                        (1)

                                      

               Рис.1.Схема предельной точности задания линейного обвода

 

Соединяя несмещенные оценки точек отрезками, получим некоторую ломаную , аппроксимирующую гладкую кривую l. Установим информационное соответствие между точностью задания кривой l  ломаной в заданной системе отсчета OXYZ.

При выполнении условия (1) при выборе минимального шага точечной аппроксимации кривойl, информация о точности ее задания определяется соотношением

                                              ,                                   (2)

где –длина ограниченной кривой l.

Если к правой части (2) прибавить и вычесть постоянную величину , то равенство не нарушится:

                                          ,                           (3)

Соотношение (3) преобразуется с учетом свойства логарифмической функции:

                                         ,                            (4)

где  – длина аппроксимирующей ломаной.

Первое слагаемое в правой части выражения (4) определяет  количество информации о точности задания аппроксимирующей ломаной [2,c.73]:

                                            .                                      (5)

Так как длина кривой l больше суммарной длины аппроксимирующей ломаной, то отношение под знаком логарифма в правой части (5) всегда больше единицы, т.е. логарифм положителен. Следовательно, при аппроксимации непрерывной гладкой кривой ломаной имеет место потеря информации, связанной с точностью задания линейных геометрических объектов. Величина потери определяется логарифмическим отношением:

                                                                                                              (6)

Если оценивать предельное состояние равенства (5) при бесконечном уменьшении метрики, то оказывается, чтов формуле:

                     = lim + lim (7)

второе слагаемое равно нулю и информация о точности задания кривой соответствует информации о точности задания аппроксимирующей ломаной [3,c.83].

При ограниченном параметре N в общем случае имеет место соотношение:

                                                ,                                             (8)

где d – положительное число, зависящее от шага аппроксимации кривой.

С точки зрения метрической определенности кривой [4,c.86], связанной с ее предельной дискретизацией метрикой et, параметр d принимает нулевое значение при шаге дискретизации . В этом случае имеет место равенство информаций:

                                               .                                                  (9)

Таким образом, с информационной точки зрения, точность задания гладкой кривой l соответствует точности задания аппроксимирующей ломаной  с шагом дискретизации, не превышающим величины минимальной метрики, либо Dэдля энтропийных оценок.

Очевидно, что для заданной ячейки измеримости [5,c.192]et, криваяl может быть задана множеством точек с полной информационной определенностью, если их число равно

                                                       (N-1) = ,                                                     (10)

где  – длина кривой l, измеренная в единицах et; Dэ- величина энтропийного интервала предельной измеримости (= ).

Подставляя параметр Dэв (10), получаем выражение размерности точечного массива [6,c.104] с учетом величины заданной минимальной метрикиeм:

                                                    .                                           (11)

Выбор параметра N на основании формулы (11) геометрически означает [7,c.1257], что равновеликие круги рассеяния всех точек дискретного ряда кривойl касаются друг друга, а их радиус равен:

                                                = /12.                                            (12)

Соотношение (11) с учетом положительной определенности его правой и левой частей может быть прологарифмировано:

                                                      .                                      (13)

Преобразование полученного соотношения с учетом свойства логарифмической функции [8,c.68] (при eм=1):

                                                ,                               (14)

позволяет получить в правой части с учетом  (9) выражение информации о точности задания аналитической кривойl множеством точек . Следовательно, и левая часть выражения (13) определяет информацию о точности задания кривойl дискретным точечным рядом размерности N :

.                                                  (15)

Соотношения (13), (15) определяют предельные «верхние» условия нормировки параметров размерности массивов точечных множеств [9,c.164] при дискретном задании аналитической кривойl в декартовой системе отсчетаOXYZ(eм).

За эталон кривой информации принимается линия, заданная двумя граничными точками  A и B, которые могут быть соединены любым способом, в том числе и отрезком:

                                           .                                    (16)

На основании соотношений (15), (16) нормируется информационное содержание о точности задания любой кривой в следующих пределах:          

                                                0 ≤  Inf(Pi) ≤  ln,                                            (17)

где Dэ–предельный параметр измеримости, определяемый дифференциально-геометрическими свойствами кривой.

                                               Список литературы

 

1.Синицын С.А. Информационно-статистический метод оптимального моделирования гладких дифференциальных поверхностей при итерационном проектировании технических объектов на транспорте// монография.  Москва: ФГАОУ ВО «Московский университет путей сообщения». РОАТ. 2017.  103с.

2.Панченко В.А. Моделирование солнечных теплофотоэлектрических модулей // Электротехнологии и электрооборудование в АПК, 2019, 2 (35), с. 71 – 77.

3.Левчук Т.В., Лочканов Д.С., Морозов К.О. Компьютерное и математическое моделирование экономических и транспортных процессов// История и перспективы развития транспорта на севере России. 2014. №1. С.82-84.

4.Левчук Т.В., Казаков М.С., Зверев А.С. Оптимизация систем массового обслуживания// История и перспективы развития транспорта на севере России. 2014. №1. С.84-87.

5.Левчук Т.В., Захаров К.О., Вороненков А.А. Системы управления измерениями// История и перспективы развития транспорта на севере России. 2014. №1. С.190-194.

6.Панченко В.А. Моделирование теплофотоэлектрических модулей для энергоснабжения инфраструктурных объектов // Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта: межвузовский сборник научных трудов – Москва: Российский университет транспорта (МИИТ), 2018, с. 100 – 109.

7.Панченко В.А. Моделирование солнечных теплофотоэлектрических модулей различной конструкции // Экологическая, промышленная и энергетическая безопасность – 2019: сборник статей по материалам международной научно-практической конференции: “Экологическая, промышленная и энергетическая безопасность – 2019” (23 – 26 сентября 2019 г.) – Севастополь: СевГУ, 2019, с. 1255 – 1259.

8.Левчук Т.В., Втулкин М.Ю. Инновационные технологии на железнодорожном транспорте// История и перспективы развития транспорта на севере России. 2012. №1. С.68-71.

9.Sergey Sinitsyn, Vladimir Panchenko, ValeriyKharchenko, PandianVasant. Optimization of Parquetting of the Concentrator of Photovoltaic Thermal Module // Intelligent Computing & Optimization. Advances in Intelligent Systems and Computing, Volume 1072, 2020, pp. 160 – 169, https://doi.org/10.1007/978-3-030-33585-4_16.