МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ В OCTAVE

METHODS OF STATE-SPACE REPRESENTATION IN OCTAVE

Современная теория систем автоматического управления использует, как известно, два типа моделей - модели “вход-выход” и модели пространства состояний [1]. Первые ориентированы на системы с одним входом и одним выходом, в то время как вторые позволяют решать проблемы моделирования систем с несколькими входами и выходами. В первом случае используется аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Во втором — аппарат теории матриц и дифференциальных управлений. Однако как в одном, так и в другом случае ручные аналитические расчеты стали редкостью в связи с появлением систем компьютерной математики. Самой известной и хорошо приспособленной для решения задач управления является MATLAB фирмы MathWorks. Она имеет специальные расширения Control Systens Toolbox и Simulink как раз для моделирования систем управления. Однако MATLAB имеет одно, но весьма существенное обстоятельство — ее высокая стоимость. Это исключает ее легальное использование в большинстве технических университетов РФ.

В предыдущей работе авторы обратили внимание на открытую систему Octave и продемонстрировали ее применение для реализации частотных методов теории управления [2]. В настоящей работе показывается, что в Octave легко реализуются и методы пространства состояний.

Octave является свободным программным обеспечением, которое разрабатывается под лицензией GNU. В настоящее время оно почти полностью совместимо с кодом MATLAB и имеет различные преимущества. Самые главные из них — это свободное распространение и доступность, а также низкие требования к производительности. Это позволяет использовать Octave в учебных заведениях, где отсутствует возможность приобрести лицензию MATLAB, или характеристики используемых компьютеров не соответствуют требованиям для работы с MATLAB.

Рассмотрим задачу управления линейной стационарной системой с одним входом и одним выходом, заданной своими уравнениями в пространстве состояний

 

(1)

 

эта система управляема, если

 

(2)

 

или, что эквивалентно, если не вырожден грамиан управляемости

 

(3)

 

Рассмотрим проверку свойства (2) и невыражденности грамиана (3) для передаточной функции

 

(4)

 

Для первой канонической формы в Octave записываем

>> 

A = [0 1; -6 -5];

>> 

b = [1; -3];

>> 

det( [b, A*b] )

 

ans =

 

0

 

Реализация не является полностью управляемой. Количество неуправляемых координат - UNC - находится так

>> 

UNC = length(A) - rank( [b, A*b] )

 

UNC =

 

1

 

Одна координата — неуправляемая. Но если для той же передаточной функции использовать управляемую форму, то реализация оказывается полностью управляемой

>> 

A = [0 1; -6 -5];

>> 

b = [0; 1];

>> 

det( [b, A*b] )

 

ans =

 

-1

>> 

UNC = length(A) – rank( [b, A*b] )

 

UNC =

 

0

 

При использовании грамиана управляемости (5) получаем в Octave для первой канонической формы

>> 

A = [0 1; -6 -5];

>> 

b = [1; -3];

>> 

syms t

>> 

U = expm(A*t)*b;

>> 

U = int(U*U’, 0, int);

>> 

det(w)

 

ans =

 

0

 

Реализация не полностью управляемая.

Для управляемой канонической формы в Octave получаем

>> 

A = [0 1; -6 -5];

>> 

B = [0; 1];

>> 

syms t

>> 

U = expm(A*t)*b;

>> 

w = int(U*U’, 0, int);

>> 

det(w)

 

ans =

 

1/500

 

Определитель отличен от нуля — реализация полностью управляемая.

Совершенно аналогично проверяется свойство наблюдаемости динамических систем с использованием матрицы наблюдаемости или грамиана наблюдаемости. Таким образом Octave легко используется для полного рассмотрения свойств управляемости и наблюдаемости систем, заданных управлениями в пространстве состояний.


 

Список литературы:

1.     Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2009.- 832 с.

2.     Капалин В. И., Ильин В. А. Частотные методы теории управления в Octave. Сборник научных трудов научно-технической конференции CITCONF “Современные информационные технологии 2019”, 2019, ПГУ, Пенза. – 4с