Современная теория систем автоматического управления использует, как известно, два типа моделей - модели “вход-выход” и модели пространства состояний [1]. Первые ориентированы на системы с одним входом и одним выходом, в то время как вторые позволяют решать проблемы моделирования систем с несколькими входами и выходами. В первом случае используется аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Во втором — аппарат теории матриц и дифференциальных управлений. Однако как в одном, так и в другом случае ручные аналитические расчеты стали редкостью в связи с появлением систем компьютерной математики. Самой известной и хорошо приспособленной для решения задач управления является MATLAB фирмы MathWorks. Она имеет специальные расширения Control Systens Toolbox и Simulink как раз для моделирования систем управления. Однако MATLAB имеет одно, но весьма существенное обстоятельство — ее высокая стоимость. Это исключает ее легальное использование в большинстве технических университетов РФ.
В предыдущей работе авторы обратили внимание на открытую систему Octave и продемонстрировали ее применение для реализации частотных методов теории управления [2]. В настоящей работе показывается, что в Octave легко реализуются и методы пространства состояний.
Octave является свободным программным обеспечением, которое разрабатывается под лицензией GNU. В настоящее время оно почти полностью совместимо с кодом MATLAB и имеет различные преимущества. Самые главные из них — это свободное распространение и доступность, а также низкие требования к производительности. Это позволяет использовать Octave в учебных заведениях, где отсутствует возможность приобрести лицензию MATLAB, или характеристики используемых компьютеров не соответствуют требованиям для работы с MATLAB.
Рассмотрим задачу управления линейной стационарной системой с одним входом и одним выходом, заданной своими уравнениями в пространстве состояний
|
|
|
(1) |
эта система управляема, если
|
|
|
(2) |
или, что эквивалентно, если не вырожден грамиан управляемости
|
|
|
(3) |
Рассмотрим проверку свойства (2) и невыражденности грамиана (3) для передаточной функции
|
|
|
(4) |
Для первой канонической формы в Octave записываем
|
>> |
A = [0 1; -6 -5]; |
|
>> |
b = [1; -3]; |
|
>> |
det( [b, A*b] ) |
|
|
ans = |
|
|
0 |
Реализация не является полностью управляемой. Количество неуправляемых координат - UNC - находится так
|
>> |
UNC = length(A) - rank( [b, A*b] ) |
|
|
UNC = |
|
|
1 |
Одна координата — неуправляемая. Но если для той же передаточной функции использовать управляемую форму, то реализация оказывается полностью управляемой
|
>> |
A = [0 1; -6 -5]; |
|
>> |
b = [0; 1]; |
|
>> |
det( [b, A*b] ) |
|
|
ans = |
|
|
-1 |
|
>> |
UNC = length(A) – rank( [b, A*b] ) |
|
|
UNC = |
|
|
0 |
При использовании грамиана управляемости (5) получаем в Octave для первой канонической формы
|
>> |
A = [0 1; -6 -5]; |
|
>> |
b = [1; -3]; |
|
>> |
syms t |
|
>> |
U = expm(A*t)*b; |
|
>> |
U = int(U*U’, 0, int); |
|
>> |
det(w) |
|
|
ans = |
|
|
0 |
Реализация не полностью управляемая.
Для управляемой канонической формы в Octave получаем
|
>> |
A = [0 1; -6 -5]; |
|
>> |
B = [0; 1]; |
|
>> |
syms t |
|
>> |
U = expm(A*t)*b; |
|
>> |
w = int(U*U’, 0, int); |
|
>> |
det(w) |
|
|
ans = |
|
|
1/500 |
Определитель отличен от нуля — реализация полностью управляемая.
Совершенно аналогично проверяется свойство наблюдаемости динамических систем с использованием матрицы наблюдаемости или грамиана наблюдаемости. Таким образом Octave легко используется для полного рассмотрения свойств управляемости и наблюдаемости систем, заданных управлениями в пространстве состояний.
Список литературы:
1. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2009.- 832 с.
2. Капалин В. И., Ильин В. А. Частотные методы теории управления в Octave. Сборник научных трудов научно-технической конференции CITCONF “Современные информационные технологии 2019”, 2019, ПГУ, Пенза. – 4с